Matrik dan aljabar linear

Matrik
DEFINISI : Matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan tersebut dinamakan entri.

Jika A adalah suatu matriks, maka entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dapat dinyatakan sebagai a_ij.

Contoh :

A = ⎡a11

a12

a13 ⎤ = ⎡a ⎤

⎢a a a

⎥ ⎣ ij ⎦2´3

⎣ 21 22 23 ⎦

Selanjutnya ukuran suatu matriks dinyatakan sebagai banyaknya baris dan kolom, sebagai contoh matriks A di atas berukuran 2 × 3.

MATRIKS PERSEGI

Suatu matriks yang memiliki kolom dan baris yang banyaknya sama dinamakan

matriks persegi. Contoh :

⎡1 2 3⎤

⎢ ⎥

A = ⎢4 5 6⎥

⎢⎣7 8 9⎥⎦

MATRIKS DIAGONAL

Matriks D dikatakan matriks diagonal jika matriks tersebut merupakan matriks persegi dengan entri-entri d_ij = 0 untuk setiap i ¹ j.

Contoh :

⎡1 0 0 ⎤

⎢ ⎥

D = ⎢0 5 0⎥

⎢⎣0 0 9⎥⎦

MATRIKS SATUAN /IDENTITAS

Matriks I dikatakan matriks satuan jika matriks I merupakan matriks diagonal dengan entri-entri I_ii = 1 untuk setiap i ( entri diagonalnya = 1).

Contoh :

⎡1 0 0 ⎤

⎢ ⎥

I = ⎢0 1 0⎥

⎢⎣0 0 1⎥⎦

OPERASI PADA MATRIKS

1. Penjumlahan

Dua buah matriks dapat dijumlahkan jika mempunyai ukuran yang sama Penjumlahan dua matriks didefinisikan sebagai berikut :

Jika

A = ⎡⎣aij ⎤⎦2´ dan

A = ⎡⎣bij ⎤⎦2´ , maka

A + B = ⎡⎣aij + bij ⎤⎦

2´3

Contoh :

A = ⎡1 2 3⎤ dan B = ⎡0 2 1⎤ ,

⎣ ⎦

⎢4 5 6⎥ ⎢2 0 6⎥

diperoleh

A + B = ⎡1 + 0 2 + 2 3 + 1⎤ = ⎡1 4 4 ⎤

⎢4+2 ⎥ ⎢ ⎥5+0 6+6 6 5 12

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2. Perkalian Matriks

Untuk mendefinisikan perkalian matriks, terlebih dahulu diberikan sebuah contoh sebagai berikut :

⎡1 2 ⎤

A = ⎡1 2 3⎤ dan B = ⎢4 5 ⎥

⎢4 5 6⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎢⎣0 1 ⎥⎦

⎡1 2 3⎤ ⎡1 2⎤ ⎡1(1) + 2(4) + 3(0) 1(2)+2(5)+3(1)⎤ ⎡9 15 ⎤

AB = ⎢ ⎥ ⎢4 5 ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎢ ⎥

4 5 6 ⎢ ⎥

⎣0 1⎦

⎣4(1)+5(4)+6(0) 4(2)+5(5)+6(1)⎦ ⎣24 39⎦

Berdasarkan contoh di atas, dapat dilihat bahwa dalam menghitung perkalian dua matriks, kita mengalikan elemen-elemen pada setiap baris dengan elemen-elemen pada setiap kolom.

Jika

A = ⎡⎣aij ⎤⎦m´ dan

A = ⎡⎣bij ⎤⎦r´ , maka

AB = [akh ] dengan

m´n

aik = å air brk

3. Perkalian scalar

Jika A adalah suatu matriks dan k adalah scalar, maka kA adalah suatu matriks yang entri-entrinya merupakan hasil kali entri matriks A dengan k. Contoh :

k =2 dan

A = ⎡1 2 ⎤ Þ 2 A = ⎡2 4⎤ .

0 3

0 6

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4. Transpose matriks

Jika A matriks berukuran m × n, maka transpose matriks A, dinotasikan dengan A^t, merupakan matriks berukuran n × m dengan baris ke-i nya merupakan kolom ke-i dari A.

Jadi

At = ⎡⎣a ji ⎤⎦ , a ji Î A .

Contoh :

⎡1 2 4⎤

⎡1 2 ⎤

A = ⎢ ⎥ Þ At = ⎢2 0⎥

⎣2 0 1⎦

⎢ ⎥

⎢⎣4 1⎥⎦

LATIHAN :

1. ⎡a - b b + c

⎤ = ⎡8 1⎤ , tentukan nilai a,b, c dan d.

⎢3d + c 2a - 4d ⎥ ⎢7 6⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2. Jika diketahui matriks-matriks sebagai berikut :

⎡3 0⎤ ⎡4 -1 ⎤ ⎡1 4 2 ⎤

A = ⎢-1 2 ⎥ B = ⎢ ⎥ C = ⎢ ⎥

⎣1 ⎦

⎢ 1 ⎥ ⎣0 2⎦ ⎣3 1 5⎦

Hitung : AB, AC, BC, CA.

SIFAT-SIFAT OPERASI MATRIKS

Berikut beberapa sifat yang berlaku pada operasi matriks:

1. A+ B = B + A ( komutatif terhadap penjumlahan)

2. A + (B + C) = (A+B) + C ( assosiatif terhadap penjumlahan)

3. A(BC) = (AB) C ( assosiatif terhadap perkalian)

4. A(B+C) = AB + AC ( distributif) Selanjutnya akan dibuktikan untuk sifat (3) sebagai berikut :

⎡a11

a12 ....a1r ⎤

⎡b11

b12............. b1k ⎤

⎡c11

c12...... c1n ⎤

Misal

A = ⎢ # ⎥ ; B = ⎢ # ⎥ dan C = ⎢ # ⎥ .

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢⎣am1

am 2 ...amr ⎥⎦

⎢⎣br1

br 2 ...brk ⎥⎦

⎢⎣ck1

ck 2 ...ckn ⎥⎦

⎡b11

b12............. b1k ⎤ ⎡c11

c12...... c1n ⎤

⎡åb1k ck1

åb1k ck 2 .......... åb1k ckn ⎤

BC = ⎢ #

⎥ ⎢ #

⎥ = ⎢ # ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢⎣br1

br 2 ...brk ⎥⎦ ⎢⎣ck1

ck 2 ...ckn ⎥⎦

⎢åbrk ck1

åbrk ck 2 ........... åbrk ckn ⎥

⎡a11

a12...... a1r

⎤ ⎡åb1k ck1

⎣ ⎦

åb1k ck 2 ........... åb1k ckn ⎤

A(BC) = ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢⎣am1

am2 ...amr ⎥⎦ ⎢åbrk ck1 åbrk ck 2 ............ åbrk ckn ⎥

⎣ ⎦

⎡a11 å b1k ck1 + a12 å b2 k ck1 + .... + a1r å brk ck1 ..............

a11 å b1k ckn + a12 å b2 k ckn +...+ a1r å brk ckn ⎤

= ⎢ # ⎥

⎢ ⎥

⎢⎣am1 å b1k ck1 + am 2 å b2 k ck1 + .... + amr å brk ck1 .............. am1 å b1k ckn + am 2 å b2 k ckn +...+ amr å brk ckn ⎥⎦

⎡å a11b1k ck1 + å a12 b2 k ck1 + .... + å a1r brk ck 1 ..............

å a11b1k ckn +å a12 b2 k ckn +...+ å a1r brk ckn ⎤

= ⎢ # ⎥

⎢ ⎥

⎢⎣å am1b1k ck1 + å am 2 b2 k ck 1 + .... + å amr brk ck1 .............. å am1b1k ckn +å am 2 b2 k ckn +...+ å amr brk ckn ⎥⎦

⎡å a1r å brk ck1

å a1r å brk ck 2

.....

å a1r å brk ckn ⎤

⎢ r k r k r k ⎥

= ⎢ # ⎥

⎢ ⎥

⎢å amr å brk ck1

å amr å brk ck 2

.....

å amr å brk ckn ⎥

⎢⎣ r k r k r k ⎥⎦

⎡åå a1rbrk ck1

åå a1rbrk ck 2

.....

åå a1rbrk ckn ⎤

⎢ r k r k r k ⎥

= ⎢ # ⎥

⎢ ⎥

⎢åå amr brk ck1

åå amrbrk ck 2

.....

åå amr brk ckn ⎥

⎢⎣ r k r k r k ⎥⎦

Selanjutnya akan dicari bentuk dari (AB) C sebagai berikut :

⎡a a

....a

⎤ ⎡b b

....b ⎤

⎡å a1rbr1

å a1rbr 2

....

å a1rbrk ⎤

⎥ ⎢ ⎥

⎢

11 12 1r

11 12 1k

⎢ r r r ⎥

AB = ⎢ #

⎥ ⎢ #

⎥ = ⎢ # ⎥

⎢a a

...a

⎥ ⎢b b

⎢

...b ⎥

a b a b

⎥

.... a b

⎣ m1 m2

mr ⎦ ⎣ r1 r 2

rk ⎦

⎢å mr r1

å mr r 2

å mr rk ⎥

⎢⎣ r r r ⎥⎦

⎡å a1rbr1

å a1rbr 2

....

å a1rbrk

⎤

⎡c c

....c ⎤

⎢ r r r

⎥ ⎢ 11 12 1n ⎥

( AB)C = ⎢

# ⎥ ⎢ # ⎥

⎢

a b a b

⎥ ⎢ ⎥

.... a b c c ...c

⎢å mr r1 å mr r 2

å mr rk ⎥ ⎣ k1 k 2 kn ⎦

⎢⎣ r r r

⎡å a1rbr1c11 +å a1rbr 2c21 + +å a1rbrk ck1

⎥⎦

.......

å a1rbr1c1n +å a1rbr 2c2n + ... +å a1rbrk ckn ⎤

⎢ r r r r r r ⎥

= ⎢ # ⎥

⎢ ⎥

⎢å amrbr1c11 +å amrbr 2c21 +

.... +å amrbrk ck1

.....

å amrbr1c1n +å amrbr 2c2n + ... + å amrbrk c2k ⎥

⎢⎣ r r r r r r ⎥⎦

⎡åå a1rbrk ck1

åå a1rbrk ck 2

....

åå a1rbrk ckn ⎤

⎢ r k r k r k ⎥

= ⎢

⎢

⎢åå amrbrk ck1

åå amrbrk ck 2

....

⎥

åå amrbrk ckn ⎥

⎢⎣ r k r k r k ⎦⎥

Jadi terbukti bahwa (AB)C = A(BC).

Selanjutnya dengan menerapkan sifat-sifat pada operasi pada matriks, maka diperoleh suatu ketentuan yang ditulis dalam teorema berikut :

Teorema 2.1: Setiap sistem persamaan linear pasti memenuhi salah satu kondisi berikut:

tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi.

Bukti :

Misal sistem persamaan linear AX=B memiliki solusi dan solusi tersebut adalah X₁

dan X₂. Diperoleh AX₁ = B dan AX₂ = B, sehingga AX₁ = AX₂. Akibatnya A(X₁-X₂)

= 0.

Jika X₀ = X₁ –X₂ , maka

A(X₁ + kX₀) = AX₁ + A(kX₀)

= AX₁ + k A(X₀)

= B + 0

= B

Berdasarkan hasil di atas, terlihat bahwa X₁ + kX₀ juga merupakan solusi. Karena terdapat tak hingga banyak untuk scalar k, maka sistem persamaan linear tersebut memiliki takhingga banyak solusi.

MATRIKS YANG MEMILIKI INVERS ( INVERTIBEL )

Suatu matriks persegi dikatakan memiliki invers ( dapat dibalik / invertible ) jika terdapat matriks B sehingga AB = BA = I, dengan I matriks satuan.

Contoh :

Matriks B = ⎡3 5⎤ merupakan invers dari matriks A = ⎡2 -5⎤ sebab

1 2

⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎢1 2 ⎥ ⎢-1 3⎥ ⎢ ⎥0 1

AB = ⎡3 5⎤ ⎡2 -5⎤ = ⎡1 0⎤

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢-1 3⎥

MATRIKS ELEMENTER

Suatu matriks persegi berukuran n × n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari suatu matriks identitas berukuran n × n ( I_n ) dengan melakukan satu kali OBE.

Contoh :

⎡1 0 ⎤

0 2

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(mengalikan baris kedua dari I₂

dengan 2 )

⎡0 1⎤

1 0

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(menukar baris kedua dari I₂

dengan baris pertama )

⎢0 ⎥2

c. ⎡1 2 ⎤

⎣ ⎦

(menambahkan dua kali baris kedua dari I₂

dengan baris pertama )

Misal kita memiliki matriks A =

⎡2 -5⎤ . Selanjutnya kita kalikan matriks

⎢-1 3⎥

⎣ ⎦

elementer E =

⎢-2 6⎥

⎡2 -5⎤ .

⎣ ⎦

⎡1 0 ⎤ dengan matriks A, diperoleh EA =

⎢0 ⎥2

⎣ ⎦

⎡1 0 ⎤ ⎡2 -5⎤ =

⎢0 2⎥ ⎢-1 3⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Terlihat bahwa matriks yang baru dapat diperoleh dari matriks A dengan melakukan OBE yang sama untuk memperoleh matriks E. Hal ini dinyatakan dalam terome di bawah ini.

Teorema 2.2: Jika suatu matriks elementer E diperoleh dengan melakukan suatu OBE pada I_m dan A adalah matriks berukuran m × n , maka hasil kali EA merupakan suatu matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan OBE yang sama pada I_m untuk memperoleh E.

Penting :

Jika suatu OBE dikenakan pada suatu matriks identitas I sehingga menghasilkan matriks E, maka pasti terdapat suatu OBE yang apabila dikenakan pada E akan menghasilkan I.

Contoh :

⎢0 1⎥

a). ⎡1 0⎤ 2R1 ® R1

⎣ ⎦

b). ⎡1 0⎤ R2 ® R1

Þ ⎡2 0⎤ 1 R1 ® R1

⎢0 ⎥1

⎣ ⎦

Þ ⎡0 1⎤ R2 ® R1

Þ ⎡1 0⎤

⎢0 ⎥1

⎣ ⎦

Þ ⎡1 0⎤

⎢0 1⎥ R ® R

⎢1 0⎥ R ® R

⎢0 1⎥

⎣ ⎦ 1 2 ⎣ ⎦ 1 2 ⎣ ⎦

⎢ ⎥

c). ⎡1 0⎤

0 1 7R + R ® R

⎡1 0⎤

⎢7 1⎥ -7R + R ® R

⎡1 0⎤

⎢0 1⎥

⎣ ⎦ 1 2 2 ⎣ ⎦ 1 2 2 ⎣ ⎦

operasi –operasi di atas dapat dituliskan dalam tabel sebagai berikut :

OBE pada I untuk memperoleh E	OBE pada E untuk memperoleh I
Mengalikan baris ke-i dengan k	Mengalikan baris ke-i dengan *1/k*
Menukar baris ke-i dengan baris ke-j	Menukar baris ke-i dengan baris ke-j
Menambahkan k kali baris ke-i pada baris ke-j	Menambahkan -k kali baris ke-i pada baris ke-j

Teorema berikut menunjukkan sifat penting dari matriks elementer.

Teorema 2.3: Setiap matriks elementer mempunyai invers dan inversnya juga merupakan matriks elementer.

Bukti : Karena setiap matriks elementer E diperoleh dengan melakukan sebuah OBE pada I dan karena dapat ditentukan suatu OBE lagi pada E sehingga diperoleh I, maka menurut teorema 2.2 terdapat matriks elementer E₀ sehingga :

E₀ E = I dan E E₀ = I

Hal ini menunjukkan bahwa E mempunyai invers suatu matriks elementer E₀.

Selanjutnya sifat sifat matriks elementer di atas akan digunakan untuk menentukan invers dari suatu matriks. Misal akan dicari inverse dari matriks A =

⎢3 2⎥

⎡2 1⎤ . Langkah yang ingin dilakukan adalah mengalikan matriks A dengan

⎣ ⎦

matriks elementer-matriks elementer sehingga diperoleh suatu matriks identitas sebagai berikut :

1.)

⎡2 1⎤

⎢3 2⎥ R

- R ® R

Þ E1

⎡1 0 ⎤

⎢-1 1⎥

2.)

⎣ ⎦ 2 1 2

⎡2 1⎤

⎣ ⎦

Þ E = ⎡1 0 ⎤

⎢1 1⎥ R

- 1 R ® R

2 ⎢- 1 1⎥

⎣ ⎦ 2

2 1 2

⎣ 2 ⎦

3.)

⎡2 1 ⎤ 1 R1 ® R1

⎢ 1 ⎥

⎣ 2 ⎦

⎡1 1 ⎤ R - R ® R

1 0⎤

⎡

0 1

3 ⎢ ⎥

Þ E = 2

⎣ ⎦

⎡1 -1⎤

⎥

4.) ⎢

⎣

2 1 2 1

⎦

1 2

Þ E4

= ⎢ ⎥

0 1

⎣ ⎦

5.)

⎡1 0⎤

Þ E = ⎡1 0 ⎤

⎢0 1 ⎥ 2R ® R

5 ⎢0 2⎥

⎣ 2 ⎦ 2 2 ⎣ ⎦

6.)

⎡1 0⎤ .

⎢0 1⎥

⎣ ⎦

Diperoleh :E₅E₄E₃E₂E₁ A =

⎡2 1⎤

3 2

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(Kalikan sesuai kesamaan warna)

⎡2 1⎤

⎡2 -1⎤ ⎡2 1⎤

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⎢-3 2⎥ ⎢3 2⎥

⎡1 0⎤

0 1

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎢ ⎥

3 2

⎣ ⎦

⎡2 1⎤

3 2

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Jadi invers dari A = ⎡2 1⎤ adalah E E E E E

= ⎡2 -1⎤ .

3 2

⎣ ⎦

⎢ ⎥ 5 4 3 2 1

⎣ ⎦

⎢-3 2⎥

Langkah –langkah seperti di atas dapat digunakan untuk mencari invers dari suatu matriks secara simultan sebagai berikut :

⎢2 1⎥

Misal akan dicari invers dari matriks B = ⎡6 2⎤ .

⎣ ⎦

Terapkan OBE pada B disisi sebelah kiri dan secara bersamaan disebelah kanan OBE yang sama pada I, yaitu :

⎡6 2 1 0⎤

Þ ⎡6 2 1 0⎤ Þ

⎢2 1 0 1⎥ R

- 1 R ® R

⎢0 1 - 1

1⎥ 3R ® R

⎣ ⎦ 2

3 1 2

⎣ 3 3

⎦ 2 2

⎡6 2 1 0⎤ R1 - 2R2 ® R1

⎢0 1 -1 3⎥

⎣ ⎦

⎡6 0 3

⎢

-6⎤ 1 R1 ® R1

⎥ 6

⎡1 0 1

⎢ 2

-1⎤

⎥

Þ A-1

⎡ 1

= ⎢ 2

-1⎤

⎥

⎣0 1 -1 3 ⎦

⎣-1 3 ⎦

LATIHAN:

Cari invers dari matriks –matriks berikut :

⎡5 10⎤

2 3

1. ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡2 6 6 ⎤

⎢ ⎥

2. ⎢2 7 6 ⎥

⎢⎣2 7 7⎥⎦

⎢2 ⎢⎣-4	4 2	1 ⎥ -9⎥⎦
⎡1	0	0	0⎤
⎢1	2	0	0⎥ ⎥
⎢1	2	4	0⎥
⎢ ⎣1	2	4	8⎥ ⎦

⎡3 1 5 ⎤

3. ⎢ ⎥

4. ⎢

HUBUNGAN INVERS DAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Jika A_n _× _n merupakan matriks yang mempunyai invers dan B matriks berukuran n

× 1, maka solusi dari sistem persamaan linear AX = B adalah X = A^-1 B . Hal ini dituangkan dalam teorema sebagai berikut :

Teorema : Jika A matriks berukuran n × n, maka pernyataan berikut ekuivalen :

1. A mempunyai invers

2. AX = 0 hanya mempunyai solusi trivial

3. A ekuivalen baris dengan I_n.

Latihan :

⎡2 2 3 ⎤

1. Jika A = ⎢1 2 1⎥

dan X =

⎡ x1 ⎤

⎢ x ⎥

tentukan solusi dari AX = X dan AX =

⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥

4X.

⎢⎣2 -2 1⎥⎦

⎢⎣ x3 ⎥⎦

2. Tentukan nilai a dan b sehingga kedua matriks A dan B berikut tidak memiliki invers.

A = ⎡a + b - 1 0 ⎤ ; B = ⎡5 0 ⎤

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢0 3⎥ ⎢0 2a - 3b - 7⎥

3. Diketahui matriks augmentasi dari suatu sistem persamaan linear sbb :

⎡a 0 b 2⎤

⎢ ⎥

⎢a a 4 4 ⎥ . Tentukan nilai a dan b sehingga sistem persamaan linear

⎢⎣0 a 2 b⎥⎦

tsb hanya memiliki satu solusi dan tidak punya solusi.

4. Tentukan matriks K sehingga AKB = C

⎡1 4 ⎤

⎡2 0 0⎤

⎡8 6 -6 ⎤

Dengan A= ⎢-2 3 ⎥ ; B = ⎢ ⎥ ; C = ⎢6 -1 1⎥ .

⎢ ⎥

⎢⎣1 -2⎥⎦

MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN EKSPANSI KOFAKTOR

MINOR

Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri a_ij dinyatakan sebagai M_ij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks setelah menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A.

Contoh :

⎡1 2 3 ⎤

1 2 2 2 1 3

⎢ ⎥

A = ⎢2 1 2⎥

⎢⎣0 2 1⎥⎦

KOFAKTOR

Þ M11 =

2 1 ; M12 =

0 1 ; M 22 = 0 1 .

Jika M_ij merupakan minor dari A, maka C_ij = (-1)ⁱ ⁺ ^j dinamakan kofaktor entri a_ij. Contoh :

⎡1 2 3 ⎤

⎢ ⎥

A = ⎢2 1 2⎥

⎢⎣0 2 1⎥⎦

Þ C = (-1)2 1 2

2 1

= -3 ; C = (-1)3 2 2

0 1

= -2 .

DETERMINAN

Jika A merupakan matriks berukuran n × n, maka determinan dari matriks A dapat dihitung dengan cara :

1. Det(A) = a_1j C_1j + a_2j C_2j + … + a_nj C_nj.

2. Det (A) = a_i1 C_i1 + a_i2 C_i2 + … + a_in C_in

Contoh :

⎡1 2 3 ⎤

⎢ ⎥

A = ⎢2 1 2⎥ Þ det(A) = a₁₁ C₁₁ + a₁₂ C₁₂ + a₁₃ C₁₃.

⎢⎣0 2 1⎥⎦

Dengan perhitungan diperoleh :

Det (A) = 1 ( -3) + 2 ( -2) + 3 (4) = 5

Latihan :

Dengan ekspansi kofaktor, tentukan determinan dari matriks berikut :

⎡4 0 4 4 ⎤

⎢-1 0 1 1 ⎥

1. A = ⎢ ⎥

⎢1 -3 0 3 ⎥

⎣ ⎦

⎢6 3 14 2⎥

2. B =

⎡4 3 1 9 2 ⎤

⎢ ⎥

⎢0

4⎥

⎢

⎢1

-1

2⎥

⎥

⎢⎣0

3⎥⎦

⎢0 3 2 4 2⎥

⎡1 1 1 ⎤

3. C = ⎢k k k ⎥

⎢ ⎥

⎢⎣k2 k2 k2 ⎥⎦

⎡k-1 2 3 ⎤

4. D = ⎢2 k-3 4 ⎥

⎢ ⎥

⎢⎣3 4 k-4⎥⎦ .

MENENTUKAN INVERS DENGAN KOFAKTOR

⎡1 2 3 ⎤

⎢ ⎥

Misal A = ⎢2 1 2⎥ Melalui perhitungan diperoleh :

⎢⎣0 2 1⎥⎦ .

C₁₁ = -3, C₁₂ = -2, C₁₃ = 4

C₂₁ = 4, C₂₂ = 1, C₂₃ = -2

C₃₁ = 1, C₃₂ = 4, C₃₃ = -3.

Jika suatu baris kita kalikan dengan kofaktor pada baris yang berbeda, maka diperoleh hasil sebagai berikut :

· a₁₁ C₂₁ + a₁₂ C₂₂ + a₁₃ C₂₃ = 1(4) + 2(1) + 3(-2) = 0

· a₁₁ C₃₁ + a₁₂ C₃₂ + a₁₃ C₃₃ = 1(1) + 2(4) + 3(-3) = 0

· a₂₁ C₁₁ + a₂₂ C₁₂ + a₂₃ C₁₃ = 2(-3) + 1(-2) + 2(4) = 0

· a₂₁ C₃₁ + a₂₂ C₃₂ + a₂₃ C₃₃ = 2(1) + 1(4) + 2(-3) = 0

· a₃₁ C₁₁ + a₃₂ C₁₂ + a₃₃ C₁₃ = 0(-3) + 2(-2) + 1(4) = 0

· a₃₁ C₂₁ + a₃₂ C₂₂ + a₃₃ C₂₃ = 0(4) + 2(1) + 1(-2) = 0

MENENTUKAN INVERS

Sebelum membahas invers, didefinisikan adjoin dari suatu matriks sebagai berikut :

Jika A sebarang matriks berukuran n × n dan C_ij adalah kofaktor dari A, maka

⎡C11

C12 ... C1n ⎤

⎢C C ... C ⎥

matriks ⎢ 21 22 2n ⎥ dinamakan matriks kofaktor dan transposenya, yaitu

⎢# # # ⎥

⎢C C ... C ⎥

⎣⎢ n1 n2 nn ⎥⎦

⎡C11

C21 ... Cn1 ⎤

⎢C C ... C ⎥

⎢ 12 22

n2 ⎥ dinamakan adjoin A.

⎢# # # ⎥

⎢C C ... C ⎥

⎣⎢ 1n 2n nn ⎥⎦

Jika kita kalikan matriks A dengan adjoin A, diperoleh :

⎡a11

a12 ...

a1n ⎤ ⎡C11

C21 ... Cn1 ⎤

⎢a a

... a

⎥ ⎢C C

... C ⎥

A × adjoin A = ⎢

21 22 2n ⎥ ⎢

12 22

n2 ⎥ = B

⎢ # # #

⎥ ⎢# # # ⎥

⎢a a

... a

⎥ ⎢C C

... C ⎥

⎣⎢ n1 n2

nn ⎥⎦ ⎢⎣ 1n

2n nn ⎥⎦

Entri pada baris ke-i kolom ke-j dari matriks B adalah :

bij = ai1Cj1 + ai2 Cj2 + … + ain Cjn , sehingga b_ij = 0 untuk setiap i ¹ j dan b_ii = det A.

⎡det A 0 ... 0 ⎤

⎢0 det A ... 0 ⎥

Diperoleh, A × adjoin A = ⎢ ⎥ = det A × I.

⎢# # # ⎥

⎣ ⎦

⎢0 0 ... det A⎥

Jadi, A × adjoin A = det A × I Û

A ⎛ adjoin A ⎞ = I .

⎜ det A ⎟

⎝ ⎠

Akibatnya jika A mempunyai invers, maka Contoh :

A-1 = adjoin A .

det A

⎡1 2 3 ⎤ ⎡-3 4 1 ⎤

A = ⎢2 1 2⎥ Þ adjoin A = ⎢-2 1 4 ⎥

⎢ ⎥

⎢⎣0 2 1⎥⎦

⎢ ⎥

⎢⎣4 -2 -3⎥⎦

⎡-3 4 1 ⎤

1 1

⎡ -3 4 1 ⎤

5 5 5

⎢ ⎥

A-1 =

´ adjoin A =

´ ⎢-2 1 4 ⎥ = ⎢ -2 1 4 ⎥

det A

5 ⎢ ⎥ 5 5 5

⎢⎣4 -2 -3⎥⎦

⎢ 4 -2 -3 ⎥

Latihan :

⎣ 5 5 5 ⎦ .

Tentukan invers dari matriks berikut dengan mencari adjoin :

⎡0 1 2⎤

⎢ ⎥

1. ⎢2 4 3⎥

⎢⎣3 7 6⎥⎦

⎡1 0 1 ⎤

⎢ ⎥

2. ⎢-1 3 0⎥

⎢⎣1 0 2 ⎥⎦

⎡2 -4 6⎤

⎢ ⎥

3. ⎢0 1 -1⎥

⎢⎣0 0 2 ⎥⎦

⎡3 0 0 ⎤

⎢ ⎥

4. ⎢9 1 0 ⎥

⎢⎣-4 2 4⎥⎦

ATURAN CRAMER

Sistem persamaan linear AX = B dengan det A ¹ 0 mempunyai solusi tunggal, yaitu :

x = det( Aj ) dengan A adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan

i det( A) j

mengganti kolom ke-j dengan matriks B.

Bukti :

⎡C11 C21

... Cn1 ⎤ ⎡b1 ⎤

1 ⎢C C

... C

⎥ ⎢b ⎥

AX = B Þ X = A^-1 B =

(adjoin A) B = ⎢

12 22

n2 ⎥ ⎢ 2 ⎥

det A

⎢ # # #

⎥ ⎢# ⎥

⎢C C ... C

⎥ ⎢b ⎥

⎡b1C11 + b2C21 + ... + bnCn1 ⎤

⎣⎢ 1n

2n nn ⎥⎦⎢⎣

n ⎥⎦

1 ⎢bC + b C + ... + b C ⎥

Û X =

⎢ 1 12 2 22

n n2 ⎥

det( A) ⎢ # # # ⎥

⎢bC + b C + ... + b C ⎥

⎢⎣ 1 1n 2 2n n nn ⎥⎦

Û x_j =

b1C1 j + b2C2 j + ... + bnCnj

det( A)

⎡a11 a12

...

a1 j-1 b1 a1 j+1

... a1n ⎤

⎢a a ... a b a ... a ⎥

Selanjutnya dibentuk A_j = ⎢ 21 22 2 j-1 2 2 j+1 2n ⎥ , yaitu matriks yang

⎢ # # # # # # ⎥

⎢ ⎥

⎢⎣an1

an 2

...

anj -1 bn

anj+1

...

ann ⎥⎦

diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-j dengan B.

Jadi peroleh x =

b1C1 j + b2C2 j + ... + bnCnj = det( Aj ) .

Contoh :

det( A) det( A)

Tentukan solusi sistem persamaan linear :

x + 2 y + 3z = 8 2x + y + 2z = 6

2 y + z = 5

Penyelesaian :

⎡1 2 3 ⎤

⎢ ⎥

A = ⎢2 1 2⎥ Þ det (A) = 5

⎢⎣0 2 1⎥⎦

⎡8 2 3⎤

⎢ ⎥

A₁ = ⎢6 1 2⎥ Þ det (A₁) = 8(-3) -2(-4) + 3 (7 ) = 5

⎢⎣5 2 1⎥⎦

⎡1 8 3 ⎤

⎢ ⎥

A = ⎢2 6 2⎥ Þ det(A₂) = 1(-4) -8(2) +3(10) = 10

⎢⎣0 5 1⎥⎦

⎡1 2 8 ⎤

⎢ ⎥

A = ⎢2 1 6⎥ Þ det(A₃) = 1(-7) -2(10) +8(4) = 5

⎢⎣0 2 5⎥⎦

Jadi sistem persamaan linear tersebut mempunyai solusi :

x = 5 = 1 ; y = 10 = 2 ; z = 5 = 1 .

5 5 5

Latihan :

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut :

x + 2 y - 2z = 1

1. 2x - y + z = 2

x - 2 y - 4z = -4

4x + 5 y = 2

2. 11x + y + 2z = 3

x + 5 y + 2z = 1

4x + y + z + w = 6 3x + 7 y - z + w = 1

3. 7x + 3y - 5z + 8w = -3

x + y + z + 2w = 3

⎣0 1 -1⎦

⎢ ⎥

⎢⎣-4 0 0⎥⎦

Edit by suranto

19130001

matrik dan aljabar linear

MATRIKS PERSEGI

matriks persegi. Contoh :

MATRIKS DIAGONAL

Contoh :

MATRIKS SATUAN /IDENTITAS

Contoh :

OPERASI PADA MATRIKS

Contoh :

2. Perkalian Matriks

⎡1 2 ⎤

⎡1 2 3⎤ ⎡1 2⎤ ⎡1(1) + 2(4) + 3(0) 1(2)+2(5)+3(1)⎤ ⎡9 15 ⎤

3. Perkalian scalar

4. Transpose matriks

Contoh :

LATIHAN :

SIFAT-SIFAT OPERASI MATRIKS

A(BC) = ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥

⎣ ⎦

Bukti :

MATRIKS YANG MEMILIKI INVERS ( INVERTIBEL )

Contoh :

MATRIKS ELEMENTER

Penting :

Contoh :

LATIHAN:

HUBUNGAN INVERS DAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR

MINOR

KOFAKTOR

DETERMINAN

Latihan :

⎡1 1 1 ⎤

MENENTUKAN INVERS DENGAN KOFAKTOR

MENENTUKAN INVERS

Latihan :

ATURAN CRAMER

Bukti :

det( A)

Contoh :

Comments

Post a Comment